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譚建成
（中國(guó)電器科學(xué)研究院，廣州510300）
摘要：為了獲得計(jì)時(shí)電阻和電感的 無(wú)刷直流電機(jī)的平均電磁轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式，通過(guò)對(duì)反電勢(shì)梯形波平頂120度的三相無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)換相過(guò)程進(jìn)行分析，得到考慮繞組電磁時(shí)間常數(shù)的平均電流和平均電磁轉(zhuǎn)矩解析解，并以兩個(gè)典型樣機(jī)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證。給出的計(jì)算公式可用于工程計(jì)算和分析研究。 中圖分類號(hào)：TM36 +1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文室編號(hào)：1001-6848[2010)05-0013-06
O引 言
無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)繞組參數(shù)包含電阻和電感。電感是對(duì)電機(jī)性能有重大影響的參數(shù)，但至今正式出版的包含無(wú)刷直流電機(jī)設(shè)計(jì)內(nèi)容的書(shū)籍基本上都采用直流電機(jī)模型（只考慮繞組電阻），忽略了繞組電感的影響，這就勢(shì)必導(dǎo)致電機(jī)性能的計(jì)算值與實(shí)際值之間有較大的偏差。從本文下面的例子可見(jiàn)，偏差十分明顯。而在分析換相過(guò)程對(duì)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)影響的文獻(xiàn)中，卻忽略了電阻只考慮電感的作用。這是因?yàn)榍笕⊥瑫r(shí)計(jì)及電阻和電感的無(wú)刷直流屯動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型解析解比較困難，還沒(méi)有一個(gè)可用于工程計(jì)算的簡(jiǎn)潔的表達(dá)式的緣故。
無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)換相過(guò)程各相電流變化以及其工作特性可以采用其數(shù)學(xué)模型借助仿真工具獲得數(shù)值解，但人們還是期望從其數(shù)學(xué)模型得到解析解。這是因?yàn)榻馕鼋饽軌蚪沂倦姍C(jī)內(nèi)在參數(shù)與外特性之間的函數(shù)關(guān)系，從而為電機(jī)設(shè)計(jì)和性能預(yù)測(cè)提供簡(jiǎn)潔的計(jì)算方法，為電機(jī)性能的改善指出明確的方向。不少文獻(xiàn)在分析換相過(guò)程中假定反電勢(shì)梯形波形的平頂部分大于120度電角度，這個(gè)假定條件對(duì)于時(shí)間常數(shù)大換相過(guò)程比較長(zhǎng)的電機(jī)，實(shí)際上就是要求平頂部分達(dá)到180度，這與實(shí)際的電機(jī)情況相差甚遠(yuǎn)。文獻(xiàn)[15，16]平均電流和平均電磁轉(zhuǎn)矩取值范圍有誤，未能取得最終正確結(jié)果。
本文對(duì)梯形波反電勢(shì)平頂為120度的三相無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)換相過(guò)程進(jìn)行分析，給出了在一個(gè)換相周期內(nèi)三相電流瞬時(shí)值的解析解，進(jìn)而得到平均電流和平均電磁轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式。分析表明，無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)的平均電流和平均電磁轉(zhuǎn)矩可表示為參數(shù)x的函數(shù)，體現(xiàn)了它們與繞組電磁時(shí)間常數(shù)的密切關(guān)系。給出轉(zhuǎn)矩系數(shù)KT與反電勢(shì)系數(shù)KE關(guān)系式。然后，以轉(zhuǎn)子磁片表面粘貼和磁片切向內(nèi)置兩個(gè)典型結(jié)構(gòu)不同功率等級(jí)樣機(jī)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與公式計(jì)算結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證，也對(duì)比了計(jì)及電感和忽略電感計(jì)算結(jié)果的差異，說(shuō)明本文的分析和給出的解析計(jì)算公式可用于無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)的工程計(jì)算和分析研究。
1換相過(guò)程分析和三相電流過(guò)渡過(guò)程的解析表達(dá)式
下面的分析是對(duì)三相星型六狀態(tài)工作方式下的無(wú)刷直流電機(jī)進(jìn)行，其電機(jī)和功率橋電路原理圖如圖l所示。
為方便換相過(guò)程的分析，作如下假設(shè)：
1)三相對(duì)稱，反電勢(shì)為梯形波，平頂部分等于120度電角度；
2)忽略開(kāi)關(guān)管和續(xù)流二極管的管壓降。無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)的換相過(guò)程的換流時(shí)間通常在毫秒級(jí)，而開(kāi)關(guān)管本身的關(guān)斷時(shí)間在微秒級(jí)，因此完全可以忽略開(kāi)關(guān)管本身關(guān)斷時(shí)間對(duì)換流過(guò)程的影響；
3)忽略電樞反應(yīng)、齒槽效應(yīng)和磁路飽和的影響；
4)相繞組的等效電感為常數(shù)；
5)換相過(guò)程中電機(jī)的轉(zhuǎn)速。保持恒定。
在圖1中，U為輸入到逆變器的直流電源電壓，R和L為一相的等效電阻和一相的等效電感，且有L=Ls-M，其中L。為相繞組自感，M為相繞組間的互感，假設(shè)磁路的磁阻不隨轉(zhuǎn)子位置而變化，Ls和M均為常數(shù)。u，e，i分別是各相的繞組端電壓、反電勢(shì)和電流的瞬時(shí)值。并規(guī)定相電流以流向繞組中心點(diǎn)為正向電流，相電壓以中心點(diǎn)為參考點(diǎn)。
電機(jī)等效電路的電壓平衡方程式為：
三相繞組橋式120度導(dǎo)通方式按如下順序換相：A/B - A/C - B/C - B/A - C/A - C/B。我們討論電機(jī)器從A/C相導(dǎo)通向B/C相導(dǎo)通換相過(guò)程，以及B/C相導(dǎo)通一個(gè)狀態(tài)角內(nèi)的有關(guān)物理量的變化。參見(jiàn)圖1和圖4，電機(jī)的換相過(guò)程如下：開(kāi)關(guān)T2保持開(kāi)通狀態(tài)不變，C相繞組電流持續(xù)，Tl關(guān)斷的同時(shí)T3開(kāi)通，B相繞組電流由零開(kāi)始上升，由于電感的存在A相繞組電流并不能馬上降為零，而是通過(guò)與T4反并聯(lián)的二極管D4續(xù)流下降，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t，A相電流降為零。然后，B、C相電流繼續(xù)增大，經(jīng)過(guò)時(shí)間￡：后本周期結(jié)束，下一次換相的來(lái)臨。在圖4給出一個(gè)換相周期T內(nèi)三相電流變化的示意圖。
B/C相導(dǎo)通狀態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)狀態(tài)角60度，一個(gè)狀態(tài)角對(duì)應(yīng)的換相周期時(shí)間T，它分為兩個(gè)時(shí)間區(qū)間：T= t1+ t2。式中，n為電機(jī)轉(zhuǎn)速( r/min)，p為極對(duì)數(shù)。相繞組的電磁時(shí)間常數(shù)τ=L／R，用x表示一個(gè)狀態(tài)角換相周期時(shí)間與繞組電磁時(shí)間常數(shù)的比。
分兩階段進(jìn)行換相過(guò)程分析如下：
1)第一階段，時(shí)間區(qū)間t，
這是A相電流關(guān)斷階段，從A相的開(kāi)關(guān)Tl關(guān)斷開(kāi)始，到A相電流降至零為止。此過(guò)程的等值電路如圖2所示。
由反電勢(shì)為平頂120度的梯形波的設(shè)定條件，在B/C相導(dǎo)通的換流過(guò)程中，三相繞組酌反電勢(shì)分別為（參見(jiàn)圖4）
根據(jù)圖2所示等值電路，可列出此階段的電壓平衡方程式為：
轉(zhuǎn)換為三相電流方程式
初始條件為：
求取微分方程的解，A相電流為：
在A相電流降到零所需要的時(shí)間t，有
利用近似公式：當(dāng)α足夠小時(shí)，代人上式，得
可得A相電流降到零所需要的時(shí)間t1為：
同理A相電流簡(jiǎn)化為：
同樣求得B相和C相電流的解為:
B相和C相電流的解簡(jiǎn)化為：
在換相結(jié)束時(shí)刻t1時(shí)，B相和c相電流值為：
2）第二階段，時(shí)間區(qū)間T2
在此時(shí)間區(qū)間，A相電路斷開(kāi)，B相和C相電流持續(xù)上升，其等值電路如圖3所示，以A相電流降至零時(shí)間為零時(shí)刻，由圖2可列出次階段的電壓平衡方程式為：
得B相和C相電流的解：
得初始電流的解：
2平均電流和平均電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式
2.1電流平均值
電機(jī)試驗(yàn)時(shí)可方便測(cè)量的電流時(shí)流經(jīng)電源母線上的平均電流值。這個(gè)平均電流值乘以電源母線電壓就是輸入功率。由于A相電流時(shí)通過(guò)與開(kāi)關(guān)T4反并聯(lián)的二級(jí)管D2續(xù)流，它并不流過(guò)電源母線。所以，在我們討論的B/C相導(dǎo)通狀態(tài)角內(nèi)，電源母線上的平均電流值I只和B相電流有關(guān)，Ik是B相電流的平均值。
得到平均電流表達(dá)式為：
上市顯示，一臺(tái)電機(jī)由于電感的存在，與電感為零相比，同一轉(zhuǎn)速時(shí)的平均電流下降了。
2.2電磁特矩
在一個(gè)狀態(tài)角內(nèi)，三相電流都參與電磁轉(zhuǎn)矩氣的產(chǎn)生：
2.3平均電磁轉(zhuǎn)矩
在一個(gè)r周期內(nèi)電磁轉(zhuǎn)矩的平均值Ta.的計(jì)算：
其中，由式(3)得，
由式(7)得，
下面計(jì)算，
平均電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式為：
式中，Tr= KE為只計(jì)電阻忽略電感時(shí)的平均電磁轉(zhuǎn)矩。
2.4平均電磁轉(zhuǎn)矩的近似公式
式(10)計(jì)算結(jié)果表明，對(duì)于x≥0 01，當(dāng)Ku=2E/U≥0. 6，之比****不超過(guò)百分之10，當(dāng)≥0.7，與t+k之比****不超過(guò)百分之5。為方便工程計(jì)算，可將，a忽略。這樣，平均電磁轉(zhuǎn)矩表示為如下近似公式：
上式顯示，一臺(tái)電機(jī)由于電感的存在，與電感為零相比，同一轉(zhuǎn)速時(shí)的電磁轉(zhuǎn)矩降低了。
3轉(zhuǎn)矩系數(shù)Kr與反電勢(shì)系數(shù)KE關(guān)系
定義轉(zhuǎn)矩系數(shù)KT等于平均電磁轉(zhuǎn)矩與平均電流之比( Nm/A)。當(dāng)不計(jì)電感時(shí)，Kr數(shù)值上等于反電勢(shì)系數(shù)KE及電感時(shí)，由
上式顯示，當(dāng)考慮了電感時(shí)，K> KE。這是續(xù)流的A相電流產(chǎn)生附加有效轉(zhuǎn)矩的緣故。從數(shù)值上來(lái)理解，由于轉(zhuǎn)矩系數(shù)等于平均電磁轉(zhuǎn)矩與平均電流之比，如前所述，平均屯流等于B相電流平均僮，平均電磁轉(zhuǎn)矩卻正比于A相和B相電流產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，所以轉(zhuǎn)矩系數(shù)酶必然比反電勢(shì)系數(shù)KE大。
上述過(guò)程分析表明，在無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)中，參與機(jī)電能量轉(zhuǎn)換產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩的除了從電源來(lái)的電流外。還有一個(gè)較小的電磁轉(zhuǎn)矩分量是由電流i。產(chǎn)生。從能量轉(zhuǎn)換觀點(diǎn)看，這個(gè)分量是從來(lái)自電源的能量先前已經(jīng)轉(zhuǎn)換成磁能存儲(chǔ)在繞組電感里，然后在續(xù)流過(guò)程中一部分的磁儲(chǔ)能再參與機(jī)電能量的
轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換成電磁功率，產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩。
4實(shí)例驗(yàn)證計(jì)算
為了驗(yàn)證上述分析和計(jì)算公式，下面對(duì)兩個(gè)具體電機(jī)的實(shí)際測(cè)定特性數(shù)據(jù)進(jìn)行比對(duì)。這兩個(gè)
無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)換相分析和電流轉(zhuǎn)矩解析表達(dá)式譚建成電機(jī)的數(shù)據(jù)均來(lái)自有關(guān)文獻(xiàn)，它們分別是磁片表面粘貼轉(zhuǎn)子有槽定子和磁片切向內(nèi)置轉(zhuǎn)子有槽定子，具有一定代表性的結(jié)構(gòu)形式。為了便于與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比，我們只進(jìn)行平均電流轉(zhuǎn)速特性的計(jì)算和比較。
例1 表貼式轉(zhuǎn)子有槽定子的無(wú)刷直流伺服電動(dòng)機(jī)
在文獻(xiàn)[6]給出的電機(jī)型號(hào)為57BL-A-10-30 H的表貼式轉(zhuǎn)子有槽定子的無(wú)刷直流伺服電動(dòng)機(jī)，100W，星形接法，P=4，一相繞組R- 320，t=
115 -8 =107 mH，329 V時(shí)的理想空載轉(zhuǎn)速=5950 r/min。該文給出該樣機(jī)的實(shí)測(cè)電流值對(duì)應(yīng)于圖5的曲線2。其中5 407 r/min的電流值按同一作者在文獻(xiàn)[7]給的數(shù)據(jù)作了更正。
由文獻(xiàn)[6]所給實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，整流前交流電壓都是233 V，整流后給功率橋直流電壓隨著負(fù)載電流增加而降低，由此計(jì)算出等效電源內(nèi)阻為24 n，得總等效電阻為2R =32 x2+24 =88 n�？捎�(jì)算得時(shí)間常數(shù)f= 107×2/88=2 432 ms。KE= 329/5950=0. 0553 V/r．min。利用式(7)可計(jì)算出不同轉(zhuǎn)速下的平均電流值。計(jì)算結(jié)果也圖示于圖5。
文獻(xiàn)[6]還給出仿真計(jì)算結(jié)果：在轉(zhuǎn)速4 468 時(shí)，輸出轉(zhuǎn)矩0.12 Nm，電流0.191 A。在圖5中以。表示。由圖中曲線，可得到該轉(zhuǎn)速下平均電流/a。的計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，在表1給出它們的對(duì)比。在該負(fù)載點(diǎn)(n= 4468 r/min)，實(shí)測(cè)電流值為0. 241 A，未計(jì)及電感時(shí)的電流計(jì)算值為0.931 A，相差達(dá)3.9倍，而按本文公式計(jì)算的電流值0. 218A，比文獻(xiàn)[6]仿真計(jì)算的0 191 A更接近實(shí)測(cè)電流值。
例2 內(nèi)置式轉(zhuǎn)子有槽定子的無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)
在文獻(xiàn)[4]給出一臺(tái)內(nèi)置式轉(zhuǎn)子有槽定子的無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)數(shù)據(jù)：450 V，26 kW，星形接法，p=3，一相繞組R=0.06 n．L=3 1 mH，該文給出該樣機(jī)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)圖6曲線2。該電機(jī)的時(shí)間常數(shù)比較大：f=3. 110. 06= 51:67 ms，在所討論的轉(zhuǎn)速范圍，比值z(mì)約0. 05左右，比較小。按照所給電機(jī)數(shù)據(jù)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖6。
在負(fù)載點(diǎn)n= 1180 r/min，實(shí)測(cè)電流值為50 A，未計(jì)及電感時(shí)的電流計(jì)算值為800 A，相差達(dá)16倍，而按本文公式計(jì)算的電流值為54 A，與實(shí)測(cè)電流值接近得多。
從上述示例可見(jiàn)，電流計(jì)算曲線與實(shí)測(cè)曲線的接近程度較好。計(jì)算結(jié)果的偏離可能與樣機(jī)反電勢(shì)實(shí)際波形和設(shè)定條件不完全相同有關(guān)，此外還與電感值和電阻值的測(cè)定準(zhǔn)確程度有關(guān)。文獻(xiàn)[1]特別指出，測(cè)試時(shí)，隨著負(fù)載電流增加繞組溫升升高，繞組電阻會(huì)增大，從而引起特性本身的變化。
5結(jié)語(yǔ)
1)從上述兩個(gè)不同結(jié)構(gòu)不同功率等級(jí)的典型電機(jī)示例驗(yàn)證比較可見(jiàn)，未計(jì)及電感時(shí)的電流特性距離實(shí)測(cè)特性差距很大，而計(jì)及電感時(shí)計(jì)算的電流特性與實(shí)測(cè)特性相當(dāng)接近。這說(shuō)明，對(duì)于無(wú)刷電機(jī)計(jì)算和分析研究，繞組電感是必須考慮的；本文的分析和給出的計(jì)算公式可用于工程計(jì)算。
2)本文給出計(jì)及電感時(shí)的平均電流和平均電磁轉(zhuǎn)矩的簡(jiǎn)潔計(jì)算公式，它們計(jì)及電感時(shí)的值和不計(jì)電感時(shí)的差距由電機(jī)的電磁時(shí)間常數(shù)和轉(zhuǎn)速?zèng)Q定。
3)考慮電感時(shí)，無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)Kr將大于反電勢(shì)系數(shù)KE。
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