定義Lyapunov函數(shù)為
可得Lyapunov函數(shù)沿方程(5)解軌跡的導(dǎo)數(shù)為
從上面的推到過程可以看出，當(dāng)不考慮干擾，式(7)中隱含不等式即V(x(t)，0) <0，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)(5)是一致漸近穩(wěn)定的，所以閉環(huán)系統(tǒng)(4)也是一致漸近穩(wěn)定的。因為式(7)考慮了執(zhí)行器失效的情況，所以閉環(huán)系統(tǒng)(4)也是魯棒可靠鎮(zhèn)定的。
其次，證明矩陣不等式(7)是保證閉環(huán)系統(tǒng)式(4)在零初始條件下具有日。范數(shù)的有界。
假設(shè)初態(tài)x(t)=0，并引進(jìn)函數(shù)：
注意到由于故障閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性保證了||z(t) ||：有界性和limx(t)=O，在零初始條件下，對任意w(o)∈L2[0，∞]，有以下不等式成立：
則存在狀態(tài)反饋控制器u(t一d(t)) =Kx(t一d(t))使得故障閉環(huán)系統(tǒng)(4)是魯棒H
∞可靠控制系統(tǒng)，且控制器增益為K= YX
-1。
證明用對角矩陣分別左乘和右乘式(6)，并利用Schur補(bǔ)引理可得到等價的線性矩陣不等式(10)，其中，X=P-1，y= KX，Q =xQx，S與X滿足S≤X，證畢。
4仿真算例
選取一個4自由度的結(jié)構(gòu)模型作為研究對象，其振動模型的原始參數(shù)參考了文獻(xiàn)[4]。系統(tǒng)的振動方程由式(1)給出，系數(shù)矩陣為
綜上所述，給定正常數(shù)y>0，對于任意執(zhí)行器失效情況L∈Ω，若存在對稱正定矩陣P，Q，S及矩陣K使得式(6)成立，則受干擾的故障閉環(huán)系統(tǒng)(4)是魯棒日�？煽靠刂葡到y(tǒng)，且控制器增益為k。至此，定理1得證。
不等式(6)不是線性矩陣不等式，為了便于數(shù)值計算，以下通過定理2將其轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式( LMI)。
定理2考慮具有時變輸入時滯的不確定系統(tǒng)(4)，給定正常數(shù)7>0，對于任意執(zhí)行器失效情況￡tn，若存在對稱正定矩陣x，Q，S和矩陣Y，且滿足s -x≤0使得下面矩陣不等式成立：
w(t)為El Centro( NS，1940)地震波加速度x0(t)，峰值為0 34 g，采樣周期為0.02 s，選取振動最激烈的前10 s進(jìn)行仿真。下面仿真中d均取0.1。
首先，考慮執(zhí)行器任意失效情況下，對****輸入滯后Tmax與干擾抑制度y之間的關(guān)系進(jìn)行了仿真研究。在取定不同的v值并結(jié)合定理2和LMI工具箱可以得到不同的****時滯值點(diǎn)，將其連成曲線，如圖1所示。
由于抑制度y值越小表示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)對地震波的抑制能力就越強(qiáng)，因此從圖中可以看出結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可容許的****輸入滯后值隨著對地震波抑制能力的增大而減小。該結(jié)果在工程選擇硬件設(shè)備時很具有指導(dǎo)意義，特別是片機(jī)的運(yùn)算速度、傳感器反應(yīng)時間和執(zhí)行器的響應(yīng)時間等。
然后，輸入滯后T取15 ms，7取0 5，且考慮執(zhí)行器任意一個失效情況下通過對定理2進(jìn)行求解得到控制器增益矩陣：
下面單獨(dú)檢驗系統(tǒng)的可靠性（無輸入滯后）。將所求代人式(4)，得到在執(zhí)行器各種失效的情況下地震波加速度到結(jié)構(gòu)頂層加速度的頻率響應(yīng)曲線。在執(zhí)行器失效及在普通（不考慮容錯的）控制器。作用下的頻率響應(yīng)曲線，如圖2所示。
從圖2(a)可看出，在任一執(zhí)行器失效結(jié)構(gòu)頂層****加速度在不同頻率地震波作用下具有很好的增益抑制能力，說明該控制的可靠性較強(qiáng)。圖2(b)與圖2(a)比較，可明顯發(fā)現(xiàn)普通日。控制算法在有執(zhí)行器失效時對地震的抑制能力較差，不具有容錯性能。本文控制器設(shè)計方法；將在涉及生命安全的實(shí)際振動工程應(yīng)用中起到較大的改善作用。綜合驗證該系統(tǒng)在具有時變輸入滯后情況下且有執(zhí)行器失效時是否仍可以滿足所需性能要求。利用S．muimk軟件搭建模塊，其中，控制輸入滯后取15 ms，控制律K不變，仿真得到結(jié)構(gòu)頂層的控制效果，如圖3所示。
圖3中1為無控（即不加控制）、2為執(zhí)行器失效、3為全控（執(zhí)行器都正常）。曲線1與曲線3同時比較，位移反應(yīng)平均抑制百分之60，加速度反應(yīng)平均抑制百分之45，說明控制器在容許范圍內(nèi)可存在輸入滯后且進(jìn)一步說明該控制器有容錯能力。
5 結(jié) 語
本文針對結(jié)構(gòu)振動控制中常見問題，如控制輸入滯后、執(zhí)行器失效、控制器增益飽和，結(jié)合現(xiàn)代控制理論中的魯棒日。容錯控制算法提出一種控制器設(shè)計方法，并通過仿真實(shí)例驗證該方法具有較強(qiáng)
的應(yīng)用性，電為土木結(jié)構(gòu)的振動控制提供了一種安全可靠且較有工程實(shí)用意義的研究方法。另外，利 用本文所得到的輸入時滯與干擾抑制間的關(guān)系，在實(shí)際工程中選擇硬件時將起到很好的指導(dǎo)作用。
為進(jìn)一步對結(jié)構(gòu)振動系統(tǒng)的應(yīng)用性研究，在滿足上述控制性能要求的基礎(chǔ)上，對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)對結(jié)構(gòu) 參數(shù)攝動的魯棒性以及結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的非線性等問題進(jìn)行了較深入的研究，有關(guān)內(nèi)容將另文介紹。
