單調(diào)控制系統(tǒng)的簡化定理與多重穩(wěn)定性
朱廣慶，何希勤
（遼寧科技大學理學院，遼寧鞍山 114051）
摘 要：多重穩(wěn)定性是許多分子生物模型重要的動力學行為，它在分析細胞分裂和生長現(xiàn)象中起到關(guān)鍵性的作用。為了了解細胞內(nèi)的復(fù)雜的調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的動力學行為，將其數(shù)學模型進行單調(diào)分解為若干個單調(diào)控制系統(tǒng)的互聯(lián)。對具有惟一定義的穩(wěn)定狀態(tài)響應(yīng)的單調(diào)控制系統(tǒng)，引入了具有保持局部穩(wěn)定性質(zhì)的簡化系統(tǒng)，根據(jù)簡化系統(tǒng)的平衡點與原來單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點之間存在的一一對應(yīng)的映射關(guān)系，可推知單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點的位置及其穩(wěn)定性，進而通過確定單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點的位置及平衡點的穩(wěn)定性，來確定整個互聯(lián)單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點的位置及平衡點的穩(wěn)定性。由于簡化系統(tǒng)降低了原來生物系統(tǒng)模型的雛數(shù)，這為分析復(fù)雜生物系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了一種可行的途徑。
關(guān)鍵詞：多重穩(wěn)定性；單調(diào)控制系統(tǒng)；簡化系統(tǒng)；平衡點
中圖分類號：TP 27 文獻標識碼：A
L引言
在基因后組時代，生物學家和數(shù)學家面臨的****的挑戰(zhàn)就是通過對復(fù)雜的細胞內(nèi)的調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的研究來了解細胞的具體行為。在細胞內(nèi)，是由蛋白質(zhì)、DNA，RNA、代謝產(chǎn)物和其他物質(zhì)組成的調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)來處理外部的環(huán)境信號、控制內(nèi)部事件（如基因表達）以及產(chǎn)生適當?shù)募毎憫?yīng)。尤其支持多重穩(wěn)定性和周期性行為的調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)近年來越來越受到人們的關(guān)注：多重穩(wěn)定性是許多分子生物模型重要的動力學行為，在分析細胞分裂和生長現(xiàn)象中起到關(guān)鍵性的作用。多重穩(wěn)定性及相關(guān)的滯后和振蕩現(xiàn)象是分子系統(tǒng)生物研究的重點。
在應(yīng)用單調(diào)控制系統(tǒng)理淪時所面臨的****的困難就是決定穩(wěn)定狀態(tài)的位置和數(shù)量。文獻[3]把復(fù)雜的系統(tǒng)分解成由帶有單輸入單輸出的單調(diào)系統(tǒng)通過單位反饋連接成具有惟一定義的I/O特性和滿足單調(diào)性條件的閉環(huán)系統(tǒng)，然后根據(jù)簡化定理把單調(diào)分解后的閉環(huán)系統(tǒng)簡化為一維離散迭代方程。然而文獻[3]，考慮的I/O特性及I/S特性都是單值函數(shù)，本文通過把文獻[3]中的結(jié)論推廣到I/S及L／O特性是多值函數(shù)的情況，介紹能保持原單調(diào)系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性質(zhì)的簡化系統(tǒng)及通過分柝簡化系統(tǒng)的穩(wěn)定性來推斷原單調(diào)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
2預(yù)備知識
單調(diào)動力系統(tǒng)通常是定義在有序巴拿赫空間上的，這里所討論的有序巴拿赫空間是一個實空間B，且具有一個奇異的非空閉子集。在這篇文章里，所討論的K是定義在歐式空間上的，且是一個非空閉凸集。它具有以下幾種性質(zhì)：
由上述正錐K的定義，引入序的概念。
定義1（偏序關(guān)系）若x1≥x2，當且僅當x1-X2∈K則稱≥為定義在K上的偏序關(guān)系。
考慮具有輸入輸出的非線性控制系統(tǒng)：
式中，x∈X，u ∈U，y∈y，且x是Rn上的一個開子集的閉包且賦予了由KX∈R所誘導(dǎo)的序；輸出集Y和輸入集U也分別是其自己內(nèi)部的閉包且賦予了由錐KY∈R和KU∈RP所誘導(dǎo)的序。
在不引起混淆和從文中司以知其意的情況下，可以統(tǒng)一用K來代替KX，KY，KU。同時，假設(shè)：
f：X×U—y Rn在XxU上是連續(xù)可微的且f在x上滿足局部利普希茨條件和在U 上是一致連續(xù)的，函數(shù)h：X一Y在X上也是連續(xù)的。
下面給出單調(diào)控制系統(tǒng)的定義。
定義2（單調(diào)控制系統(tǒng)） 若系統(tǒng)(1)滿足下面給出的條件：
則稱系統(tǒng)(1)是單調(diào)控制泵統(tǒng)。
x(i，εi，ui)是微分方程x(t)=f(x(t)，u(t))且滿足初始條件x(0)=ε的解。由單調(diào)控制系統(tǒng)的定義，還可進一步給出強單調(diào)控制系統(tǒng)的定義。
定義3（強單凋控制系統(tǒng)） 若系統(tǒng)(1)滿足下面給出的條件：
則稱系統(tǒng)(3)是單調(diào)控制系統(tǒng)。
引理1[3]對系統(tǒng)(1)，V=intX，W= intU都是有序凸集，且f是連續(xù)可微的，對于由K（ε）和K（δ）所誘導(dǎo)的序，若：
對所有的i∈ {l，2，…，n}和所有的j∈{l，2，…，m}都成立，則系統(tǒng)(1)是單調(diào)系統(tǒng)。其中，
定義4（I/S特性）考慮系統(tǒng)(1)，若對每一個常量  輸入u(t)恒等于U，都存在一個全局漸近穩(wěn)定的平衡點，則稱k(．)：U-V為系統(tǒng)(1)的箭態(tài)I/O特性。 注意到這里kx是連續(xù)非遞減的，即若：
事實上，對任意給定的初始狀態(tài)ε和輸入u(t)，v(t)∈U，t≥0，根據(jù)單調(diào)性的定義，有：
3主要結(jié)果
在分析基因調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)模型的多重穩(wěn)定性時，單調(diào)動力系統(tǒng)思想是很重要的一個分析手段。在對一個具體的基因調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)模型來說，可以根據(jù)一些數(shù)學處理方法（如相容性原則）或算法（如LUP算法等），把原來的基因調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)模型分解成由單調(diào)子系統(tǒng)級聯(lián)而成的閉環(huán)系統(tǒng)。考慮非線性系統(tǒng)：
且根據(jù)文獻[1]中E．D Sontag所提出的單調(diào)分解方法，有：
定義5（單調(diào)分解） 若系統(tǒng)(6)可以分解成下面形式：
其中，狀態(tài)變量X∈X∈Rn；M為控制變量且在U∈Rm取值，而且分別存在由錐KX∈Rn，KU∈Rm所誘導(dǎo)的序≤x，≤u，使得：
①每一個固定的u，系統(tǒng)(7)都是單凋的。
②對每一個固定的x，有u1≤u2，u1≤u2，f（x，u1）≤f（x，u2）成立。
③存在一維連續(xù)函數(shù)h：有x1≤x2，h(x1)≤h(x2)成立。
④g(x)=f(x，h(x))
則稱系統(tǒng)(7)是對系統(tǒng)(6)的一個單調(diào)分解。
引理2對于給定的單調(diào)控制系統(tǒng)(6)，若其具有非退化的I/S特性，則x ∈X為系統(tǒng)(7)的一個平衡點當且僅當x∈Kx (h (x))，且映射x一(h(x)，x)是系統(tǒng)(7)的平衡點與對應(yīng)的滿足x∈kx(u)，U=K(x)的點(u，x)之問的一個雙射。
對于引理2中給出的多值函數(shù)Kx，可進一步考慮多值函數(shù)k：u一P(u,)說若一個系統(tǒng)滿足性質(zhì)（H）： (H)任意的x1，x2∈E，若x1≠x2，則h(xl)≠h(x2)則稱系統(tǒng)具有性質(zhì)(H)。 其中，E為系統(tǒng)的平衡點集。
引理3若系統(tǒng)(7)具有性質(zhì)（H），目具有非退化的I/O特性，則映射x一h（x）是系統(tǒng)(7)的平衡點與對應(yīng)的滿足u∈K(U)的點H之間的一個雙射。
證明由引理2可知，若x是系統(tǒng)(7)的一個平衡點，則滿足x∈Kx (h (x))。根據(jù)多值函數(shù)k的定義有h(k)∈k(h(k))。反過來，若u∈k(u)則存在X∈Kx (u)，使得h(x)=u，因此x∈Kx (h (x))由引理2可知，x是系統(tǒng)的一個平衡點。
如果假設(shè)：u一x是單值函數(shù)且滿足上述定理的條件，即有以下的定理：
定理1若系統(tǒng)(7)具有性質(zhì)(H)，且礦是單值函數(shù)，滿足：
①具有非退化的I/S特性和I/O特性。
②其閉環(huán)系統(tǒng)(6)是強單調(diào)系統(tǒng)。
③其解有界。
局部漸近穩(wěn)定平衡點與系統(tǒng)(7)的局部漸近平衡點之間的一個雙射，且系統(tǒng)(7)的幾乎所有有界解都收斂于其漸近穩(wěn)定平衡點。
證明若u是系統(tǒng)u= k(u) 的一個平衡點，則u是方程u=k(u)=h(Kx (u))的一個解：顯然有：
因此系統(tǒng)(7)的一個平衡點。反過來，若x是系統(tǒng)(7)的一個平衡點，則對應(yīng)的輸出力y=h(x)，又由于u=y可得x= Kx（y），因此：
于是y是系統(tǒng)u=k(u)-u的一個平衡點。
L／S特性Kx是可微函數(shù)，事實上，由Kx (u)是方程，f（Kx(u),u）=O的解和非退化的假設(shè)知，對任意的u，f(x,u)=0對x的偏微分都是可逆的，根據(jù)隱含映射定理知Kx是可微的。而且還可以通過對方程f（Kx （u），u）=O兩邊求導(dǎo)：
進而可得：
這里，A，B，C定義為
且由I／S特性kx是非退化的假設(shè)知，A-1存在：
 考慮單位反饋u=y，得閉環(huán)系統(tǒng)z=(A+BC)z，由于A是Hurwtz矩陣，且det（I+CA -1B）≠O。由文獻[4]的定理2知矩陣-（I+CA -1B）是Hurwtz矩陣，且存在Perron-Frobenius特征值u，若u
在上述的定理中，系統(tǒng)u=k( u)-u 稱之為連續(xù)時間簡化系統(tǒng)，它保持了原系統(tǒng)(6)的局部穩(wěn)定性質(zhì)。在具體分析生物系統(tǒng)的多重穩(wěn)定時，由于簡化系統(tǒng)降低了原生物系統(tǒng)的維數(shù)，其維數(shù)等于其輸入的維數(shù)：這在分析生物系統(tǒng)的穩(wěn)定時提供了方便。下面就以一個實例來說明簡化系統(tǒng)在分析生物系統(tǒng)穩(wěn)定性時所表現(xiàn)出的簡便性。
4實例
為了說明文中的主要結(jié)果，考察一類真核單細胞有機體（如酵母菌）的基因調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)：在文獻[9]中，Iiskhaikow在研究中發(fā)現(xiàn)這些生物體能產(chǎn)生一種蛋白質(zhì)，且這種蛋白質(zhì)能穿過細胞膜去促進信使RNA的生成。不僅如此，在細胞內(nèi)部發(fā)現(xiàn)另一種蛋白質(zhì)也能影H向信使RNA的轉(zhuǎn)錄，記其濃度為λ。讓r，p，q分別表示信使RNA、內(nèi)部蛋白質(zhì)、外部蛋白質(zhì)的濃度，則基因調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)可以用以下的閉環(huán)系統(tǒng)模型來描述：
(s)系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)圖，如圖l所示。
在這里，函數(shù)H，T滿足，偏導(dǎo)H與偏導(dǎo)P的比值大于0，偏導(dǎo)H與偏導(dǎo)a的比值大于0．且T(r)>0，H，T分別為轉(zhuǎn)錄速和翻譯速率。a1，a2，a3為降解系數(shù)，常量k1，k2分別為蛋白質(zhì)通過細胞膜進來和出去的速率。為了研究閉環(huán)系統(tǒng)(8)的穩(wěn)定性，根據(jù)文獻L4]所提出的單調(diào)分解方法，可以把原閉環(huán)系統(tǒng)(8)看成是由開環(huán)系統(tǒng)(9)通過單位反饋u=h(p，q，r)聯(lián)接而成的。
命題l系統(tǒng)(9)具有性質(zhì)（H）。
證明假設(shè)(p1，q1，r1)，(p2，q2，r2)是系統(tǒng)(9)的2個平衡點，若：  則由系統(tǒng)(8)的第一個方程可得P1=p2，進而可得r1=r2。所以系統(tǒng)滿足性質(zhì)（H）。
由引理1可知系統(tǒng)(9)為單調(diào)控制系統(tǒng)，且根據(jù)試驗數(shù)據(jù)可以得出系統(tǒng)(9)具有惟一定義的單值函數(shù)k，即對每一個固定的輸入u都存在惟一的平衡狀態(tài)與之對應(yīng)。令：
由式(10)可得：
顯然，q(u)就是所討論的I／O特性K。為了便于下面的討論，給出函數(shù)H，T的一般形式：
由上述的定理可知，系統(tǒng)(9)的局部漸近穩(wěn)定平衡點與簡化系統(tǒng)u=u(k)-u的局部漸近穩(wěn)定平衡點是一一對應(yīng)的.令q(u)=u，取m=4，n=1，ki=l／6，ke =l／l5，al=1，a2=l／10，a3=1／6，A1=l，A2=1，A4=10，BI=16，B2=10：其仿真圖，如圖2所示。
5結(jié)語
多重穩(wěn)定性是許多分子生物模型重要的動力學行為，它在分析細胞分裂和生長現(xiàn)象中起到關(guān)鍵性的作用。本文對具有惟一定義的穩(wěn)定狀態(tài)響應(yīng)的單調(diào)控制系統(tǒng)，為了確定單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點的位置及平衡點的穩(wěn)定性引入了保持局部穩(wěn)定性質(zhì)的簡化系統(tǒng)。簡化系統(tǒng)保持了原系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性質(zhì)，由于簡化系統(tǒng)降低了原生物系統(tǒng)的維數(shù)，其維數(shù)等于其輸入“的維數(shù)。這在分析生物系統(tǒng)的穩(wěn)定時提供了方便。
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