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| 微特電機(jī)論文：數(shù)學(xué)模型的類型和建立數(shù)學(xué)模型的步驟和方法 |
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機(jī)電一體化所涉及的領(lǐng)域很深廣，被控對(duì)象的性質(zhì)差異也極大。由于目前所掌握的科學(xué)手段尚有限，人門還不能隨心所欲建立全真的數(shù)學(xué)表達(dá)式和解算方法來描述和求解這些對(duì)象，因此在建立被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型時(shí)，需要進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化，用某些已知的數(shù)學(xué)方法去近似地描述和求解這些對(duì)象。對(duì)不同的被控對(duì)象及不同的控制要求，可采用不同的簡(jiǎn)化方法，因而能得到具有不同形式的數(shù)學(xué)模型。常見的數(shù)學(xué)模型有：分布參數(shù)模型和集中參數(shù)模型；隨機(jī)性模型和確定性模型；線性模型和非線性模型；參數(shù)時(shí)變模型和參數(shù)時(shí)不變模型；連續(xù)時(shí)間模型和離散時(shí)間模型；動(dòng)態(tài)模型和靜態(tài)模型；參數(shù)模型和非參數(shù)模型等。選擇模型類型被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型的類型應(yīng)根據(jù)其用途、要求及所用控制器的形式等來選擇。用于控制的模型應(yīng)選擇動(dòng)態(tài)模型，而用于系統(tǒng)優(yōu)化和性能分析的模型則應(yīng)選擇靜態(tài)模型。絕大多數(shù)實(shí)際對(duì)象都是分布參數(shù)的、含有隨機(jī)性因素的、非線性的時(shí)變系統(tǒng)，但目前研究得最透徹的、最易于處理的模型是集中參數(shù)的、確定性的、線性的時(shí)不變系統(tǒng)。因此，在滿足控制精度的前提下，可用集中參數(shù)模型來近似地描述分布參數(shù)系統(tǒng)，用線性時(shí)不變模型來近似地描述非線性時(shí)變系統(tǒng)等，以便采用成熟的理論和方法進(jìn)行系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)。
選擇數(shù)學(xué)模型時(shí)，還應(yīng)考慮所用控制器的形式。當(dāng)采用數(shù)字計(jì)算機(jī)作為控制器時(shí)，應(yīng)選擇離散時(shí)間模型，或在建立了連續(xù)模型后通過適當(dāng)方法將其轉(zhuǎn)化成離散模型。
2．確定建模方法建立數(shù)學(xué)模型的方法主要有分析法和實(shí)驗(yàn)法兩種。分析法是將復(fù)雜的對(duì)象按其結(jié)構(gòu)分解成若干獨(dú)立的單元或組合，每一單元或組合又進(jìn)一步分解成元件或環(huán)節(jié)，根據(jù)每一環(huán)節(jié)所遵循的物理、化學(xué)規(guī)律或被控對(duì)象的特點(diǎn)，用數(shù)學(xué)分析方法分別寫出各自的運(yùn)動(dòng)規(guī)律方程式，然后將這些方程式按系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)原理和相互作用關(guān)系聯(lián)立起來，從而得到以方程式或方程組表達(dá)的整個(gè)被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型。這種數(shù)學(xué)模型又被稱為機(jī)理模型。機(jī)理模型可反映被控對(duì)象的本質(zhì)，有較大范圍的適應(yīng)性，所以在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，只要能借助于分析法得到機(jī)理模型，即使是部分環(huán)節(jié)也要盡量考慮。分析法的不足之處是有時(shí)得到的模型過于復(fù)雜，難于解算，對(duì)于機(jī)理尚不清楚的對(duì)象則無法使用。
實(shí)驗(yàn)法是在實(shí)測(cè)系統(tǒng)輸入和輸出對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，分析其內(nèi)在規(guī)律，建立一個(gè)與所測(cè)系統(tǒng)等效的數(shù)學(xué)模型。這種模型又稱辨識(shí)模型。建立辨識(shí)模型的關(guān)鍵是測(cè)試方法及試驗(yàn)信號(hào)的選擇。常用的方法有時(shí)域法、頻率法和統(tǒng)計(jì)法三種，將在下面介紹。
3．確定模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)(1)機(jī)理模型 由于實(shí)際的對(duì)象通常都比較復(fù)雜，難以用數(shù)學(xué)方法予以精確地描述因此在確定機(jī)理模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)時(shí)，首先需提出一系列合理的假定，而這些假定應(yīng)不致于造成模型與實(shí)際對(duì)象的嚴(yán)重誤差，且有利于簡(jiǎn)化所得到的模型。然后，基于所提出的假設(shè)條件，通過機(jī)理分析，列出被控對(duì)象運(yùn)動(dòng)規(guī)律方程式。最后，建立方程的邊界條件，將邊界條件與方程結(jié)合起來，就構(gòu)成了被控對(duì)象的基本模型。
在基本模型確定后，還應(yīng)從工程角度出發(fā)，在滿足精度要求的前提下，對(duì)基本模型盡可能地加以簡(jiǎn)化，以利于模型的求解，特別是便于實(shí)時(shí)控制的應(yīng)用。
在簡(jiǎn)化的機(jī)理模型的基礎(chǔ)上，可采用解析方法或計(jì)算機(jī)仿真方法來分析、研究和求解模型中輸入和輸出或狀態(tài)變量之間的定量關(guān)系，必要時(shí)還應(yīng)通過實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。當(dāng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與解析或仿真分析結(jié)果出入較大時(shí)，應(yīng)依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型結(jié)構(gòu)及參數(shù)進(jìn)行修正，直到獲得滿意的模型為止。
(2)辨識(shí)模型在建立辨識(shí)模型時(shí)，應(yīng)首先在對(duì)被控對(duì)象特性進(jìn)行較充分的分析、與同類對(duì)象類比及總結(jié)實(shí)際羥驗(yàn)的基礎(chǔ)上，初步選定被控對(duì)象模型的結(jié)構(gòu)，包括模型的階次及輸入、輸出變量等，然后選擇合適的實(shí)驗(yàn)方法對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行測(cè)試。在測(cè)試過程中，記錄下全部有關(guān)的輸入、輸出數(shù)據(jù)，作為模型參數(shù)估計(jì)的依據(jù)。此后按照所確定的參數(shù)估計(jì)的****準(zhǔn)則，用優(yōu)化方法確定模型的參數(shù)，使得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與辨識(shí)模型能依據(jù)所選定的準(zhǔn)則****地?cái)M合。
數(shù)學(xué)模型的階次對(duì)系統(tǒng)特性影響很大，如果初選模型的階次不合理，上述擬合將會(huì)有很大誤差，這時(shí)還要對(duì)模型的階次進(jìn)行辨識(shí)。階次辨識(shí)一般從低階向高階搜索，對(duì)不同階次模型的準(zhǔn)確程度進(jìn)行比較和評(píng)價(jià)，最終確定比較合理的階次。
利用上述方法確定了辨識(shí)模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)后，還應(yīng)采用另一種試驗(yàn)信號(hào)再進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)測(cè)試，以驗(yàn)證或修正模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)
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