1．不了解數(shù)學模型的內(nèi)涵，就根本建立不了控制對象的精確數(shù)學模型，尤其禁忌想當然亂湊數(shù)學模型
什么是數(shù)學模型?簡單地說：數(shù)學模型就是對實際問題的一種數(shù)學表述。具體一點說：
數(shù)學模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界為某種目的的一個抽象的簡化的數(shù)學結(jié)構(gòu)。更確切地說：數(shù)學模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學結(jié)構(gòu)可以是數(shù)學公式、算法、表格、圖示等。數(shù)學建模就是建立數(shù)學模型，數(shù)學建模是一種數(shù)學的思考方法，是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象思維、簡化操作來建立能近似刻劃并解決實際問題的一種強有力的數(shù)學手段。
數(shù)學模型作為解決實際問題的一種基本工具，它將實際問題抽象成一個數(shù)學模型后，再運用數(shù)學工具進行求解，并將結(jié)果應(yīng)用于具有相同特征的一類問題中，是解決實際問題的一種基本的途徑。實際問題往往是紛繁而復雜的，而其中的規(guī)律也是隱藏著的，要想直接用計算機來求解實際問題往往有一定的困難，甚至無法實現(xiàn)。計算機擅長的是解決數(shù)學問題。因此，我們有必要將實際問題抽象成數(shù)學模型，然后再用計算機來對數(shù)學模型進行求解。
與實際問題相比，數(shù)學模型有以下幾個性質(zhì)：①抽象性：數(shù)學模型是實際問題的一種抽象，它去除了實際問題中與問題的求解無關(guān)的部分，簡明地體現(xiàn)了問題的本質(zhì)；②高效性：
數(shù)學模型中各個量之間的關(guān)系更為清晰，容易從中找到規(guī)律，從而提高求解的效率；由于這一點是由數(shù)學模型的抽象性決定的，因此數(shù)學模型的抽象化程度對數(shù)學模型效率的高低有重要的影響；③可推廣性：數(shù)學模型可以推廣到具有相同性質(zhì)的一類問題中。換句話說，解決了一個數(shù)學模型就解決了一類實際問題。這里的“相同性質(zhì)’’是指相同的本質(zhì)，表面看似毫不相干的問題卻可能有著相同的本質(zhì)。由于這一點也是由數(shù)學模型的抽象性決定的，因此數(shù)學模型的抽象化程度對數(shù)學模型的推廣范圍也有重要的影響。因而，數(shù)學模型的建立不僅僅是模擬已知結(jié)果，最重要是對未知的預測。
由于考慮問題的角度不同，面對同一個實際問題，可能建立起各種各樣的數(shù)學模型。在各種數(shù)學模型中，要尋找的是效率****的模型。模型的效率同模型的抽象化程度有關(guān)。 數(shù)學模型是建立在問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上的，而不是建立在問題的表面現(xiàn)象上的。因此，雖然兩個問題表面毫無關(guān)系，只要它們有著相同的本質(zhì)，就可以用相同的數(shù)學模型求解。然而，要看到兩個問題有相同的本質(zhì)并不是一件容易的事。這需要我們拋開問題的表面現(xiàn)象仔細地分析對比，由表及里、去偽存真，在問題之間建立對應(yīng)關(guān)系。
數(shù)學模型的高效性與其抽象性是緊密聯(lián)系的。數(shù)學模型越是抽象，它的效率也就越高數(shù)學模型的可推廣性與其抽象性也是緊密聯(lián)系的。數(shù)學模型越是抽象，它也就越容易被廣泛應(yīng)用。建立數(shù)學模型一般應(yīng)該：首先要了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必需的各種信息，弄清對象的特征。然后根據(jù)對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言作出假設(shè)，是建模至關(guān)重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是～種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模師能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應(yīng)盡量使問題線性化、均勻化。再根據(jù)所作的假設(shè)分析對象的因果關(guān)系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適當?shù)臄?shù)學工具，構(gòu)造各個量間的等式關(guān)系或其他數(shù)學結(jié)構(gòu)。這時，便會進入一個廣闊的應(yīng)用數(shù)學天地，這里在高數(shù)、概率老人的膝下，有許多可愛的孩子們，他們是圖論、排隊論、線性規(guī)劃、對策論等許許多多，真是泱泱大國，別有洞天。不過應(yīng)當牢記，建立數(shù)學模型是為了讓更多的人明了并能方便加以府用，因此工具愈簡單愈有價值。這里，可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數(shù)值運算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學方法，特別是計算機技術(shù)。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得將系統(tǒng)運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數(shù)學軟件包能力便舉足輕重。最后還要對模型解答進行數(shù)學上的分析�！皺M看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”，能否對模型結(jié)果作出細致精當?shù)姆治�，決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住，不論哪種情況都需進行誤差分析、數(shù)據(jù)穩(wěn)定性分析。
2·不建立控制系統(tǒng)精確的數(shù)學模型，就根本設(shè)計不了高精度的控制系統(tǒng)，尤其禁忌不建立數(shù)學模型就進行盲目粗糙設(shè)計
控制系統(tǒng)的數(shù)學模型即是描述控制系統(tǒng)的數(shù)學表達式。對于現(xiàn)實世界的某一特定對象。
為7某個特定的目的，通過一些必要的假設(shè)和簡化后，將系統(tǒng)在信號傳遞過程中的特性用數(shù)學表達式描述出來，就可獲得該系統(tǒng)的數(shù)學模型�？刂乒こ痰脑O(shè)計方法，就是要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，并在此基礎(chǔ)上對控制系統(tǒng)進行分析、綜合。因而，數(shù)學模型是控制工程設(shè)計的基礎(chǔ)和必要條件。工程上常用的數(shù)學模型有：微分方程、傳遞兩數(shù)和狀態(tài)方程。微分方程是基本的數(shù)學模型，是傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)。數(shù)學模型不是****的，同一個系統(tǒng)可有不同的數(shù)學模型，建立的數(shù)學模型是否適用只能通過實驗來進行驗證。
建立數(shù)學模型就是應(yīng)用不同學科中的一些定律及基本原理。如：牛頓定律、質(zhì)量守恒定律、基爾霍夫定律和馬克斯韋爾方程等等。在建立數(shù)學模型的過程中常會遇到模型的簡化和模型的精度之間的矛盾。解決這個問題，必須對系統(tǒng)作全面的分析了解，需要有豐富實用的建模經(jīng)驗，才能分出系統(tǒng)中各部分結(jié)構(gòu)及參數(shù)的作用及影響的主次，建立一個既簡化又有一定準確度的適用模型。
線性系統(tǒng)，可由線性微分方程描述的系統(tǒng)。線性微分方程是指微分方程是定常和線性的。線性系統(tǒng)可應(yīng)用疊加原理，將多輸入及多輸出的系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單輸入和單輸出的系統(tǒng)進行處理分析，最后進行疊加。另外線性系統(tǒng)還有一個重要的性質(zhì)，就是均勻性，即當輸入量的數(shù)值成比例增加時，輸出量的數(shù)值也成比例增加，而且輸出量的變化規(guī)律只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、 參數(shù)及輸入量的變化規(guī)律有關(guān)，與輸入量數(shù)值的大小是無關(guān)的。線性化數(shù)學模型是工程上最常用的數(shù)學模型。
非線性系統(tǒng)是研究非線性系統(tǒng)的運動規(guī)律和分析方法的一個分支學科。非線性系統(tǒng)最重要的問題之一就是確定模型的結(jié)構(gòu)，如果對系統(tǒng)的運動有足夠的知識，則可以按照系統(tǒng)運動規(guī)律給出它的數(shù)據(jù)模型。一般來說，這樣的模型是由非線性微分方程和非線性差分方程給出的，對這類模型的辨別可以采用線性化，展開成特殊函數(shù)等方法。非線性系統(tǒng)理論的研究對象是非線性現(xiàn)象，它反映出非線性系統(tǒng)運動本質(zhì)的一類現(xiàn)象，不能采用線性系統(tǒng)的理論來解釋，主要原因是非線性現(xiàn)象有頻率對振幅的依賴性、多值響應(yīng)和跳躍諧振、分諧波振蕩、自激振蕩、頻率插足、異步抑制、分岔和混沌等。非線性數(shù)學模型通常都比較復雜，難以求解，甚至是根本就無法求解。
非線性系統(tǒng)線性化是對于某些非本質(zhì)的非線性系統(tǒng)最常用的處理方法。在一定條件下進行線性化處理，可以簡化分析。一般線性化方法是在工作點附近甩切線來代替，即將非線性函數(shù)在工作點附近展開成臺勞級數(shù)，并略去高于一次的項，就可得到近似的線性差分方程。
因為控制系統(tǒng)的數(shù)學模型關(guān)系到對控制系統(tǒng)性能的分析結(jié)果，所以建立合理的數(shù)學模壟是控制系統(tǒng)分析中最重要的事情。它主要包括對系統(tǒng)和元件數(shù)學模型的建立、傳遞函數(shù)的概念、結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的建立及簡化等內(nèi)容。
數(shù)學模型有動態(tài)模型與靜態(tài)模型之分。描述系統(tǒng)動態(tài)過程的方程式，如微分方程、偏微分方程、差分方程等，稱為動態(tài)模型；在靜態(tài)條件下(即變量的各階導數(shù)為零)，描述系統(tǒng)各變量之間關(guān)系的方程式，稱為靜態(tài)模型。同一個物理系統(tǒng)，可以用不同的數(shù)學模型來表達。例如，實際的物理系統(tǒng)一般含有非線性特性，所以系統(tǒng)的數(shù)學模型就應(yīng)該是非線性的。
而且嚴格地講，實際系統(tǒng)的參數(shù)不可能是集中的，所以系統(tǒng)的數(shù)學模型又應(yīng)該用偏微分方程描述。但是求解非線性方程或偏微分方程相當困難，有時甚至不可能。因此，為了便于問題的求解，常常在誤差允許的范圍內(nèi)，忽略次要因素，用簡化的數(shù)學模型來表示實際的物理系統(tǒng)。這樣同一個系統(tǒng)，就有完整的、復雜的數(shù)學模型和簡單的、準確性較差的數(shù)學模型之分。一般情況下，在建立數(shù)學模型時，必須在模型的簡化性與分析結(jié)果的精確性之間做出適當?shù)恼壑钥紤]。此外，數(shù)學模型的形式也有多種。為了便于分析研究，可能某種形式的數(shù)學模型比另一種更合適。例如時域的微分方程比較直觀，但靈活性不高，為此，用拉氏變換法求解微分方程，引進復數(shù)域的數(shù)學模型——傳遞函數(shù)；它是經(jīng)典控制論中最基本和最重要的概念，也是控制理論學習的基礎(chǔ)。再如在求解****控制問題或多變量系統(tǒng)的問題時，采取狀態(tài)變量表達式(即狀態(tài)空間表達式)比較方便；但是在對單輸入、單輸出系統(tǒng)的分析中，采用輸入輸出間的傳遞函數(shù)(或脈沖傳遞函數(shù))作為系統(tǒng)的數(shù)學模型比較合適。所以在建立系統(tǒng)數(shù)學模型時，必須注意：
1)全面了解系統(tǒng)的特性，確定研究目的以及準確性要求，決定能否忽略一些次要因素而使系統(tǒng)數(shù)學模型簡化，既不致造成數(shù)學處理上的困難，又不致影響分析的準確性。一般在條件允許下，最初盡可能采用簡化的常系數(shù)線性數(shù)學模型。若有必要，再在線性模型分析的基礎(chǔ)上考慮被忽略因素所引起的誤差，然后再建立系統(tǒng)比較完善準確的數(shù)學模型。但是必須指出，由于數(shù)學分析方法上存在的誤差，數(shù)學模型不必要的復雜化，有時并不一定會帶來預期的準確結(jié)果。
2)根據(jù)所應(yīng)用的系統(tǒng)分析方法，建立相應(yīng)形式的數(shù)學模型(微分方程、傳遞函數(shù)等)．
有時還要考慮便于計算機求解。
建立系統(tǒng)的數(shù)學模型主要有兩條途徑：①是利用人們已有的關(guān)于系統(tǒng)的知識，采用演繹的方法建立數(shù)學模型；演繹法是一種推理方法，用這種方法建立模型時，是通過系統(tǒng)本身機理(物理、化學規(guī)律)的分析確定模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，從理論上推導出系統(tǒng)的數(shù)學模型，這種利用演繹法得出的數(shù)學模型稱為機理模型或解析模型；②是根據(jù)對系統(tǒng)的觀察，通過測量所得到的大量輸入、輸出數(shù)據(jù)，推斷出被研究系統(tǒng)的數(shù)學模型。這種方法稱為歸納法，利用歸納法所建立的數(shù)學模型稱為經(jīng)驗模型。一般地講，采用演繹法建立的數(shù)學模型，是系統(tǒng)模型化問題的****解。而采用歸納法時，能夠滿足觀測到的輸入、輸出數(shù)據(jù)關(guān)系的系統(tǒng)模型卻有無窮多個。
只有建立了能反映實際控制系統(tǒng)精確的數(shù)學模型后，才有可能設(shè)計出高精度的控制系統(tǒng)，否則將是勞而無功，并會造成人力、財力和物資上的極大浪費。
|
