式中：E一材料彈性模量(GPa)：G 材料切變模量(GPa)；p一材料密度(kg／m3)；I 梁對(duì)中心軸的慣性矩(m4)；A一彎曲梁的截面積(m。)：k， 與梁截面形狀有關(guān)的常數(shù)，矩形截
面時(shí)k—O．833，圓形截面時(shí)k，=0．901。自由一自由梁的彎曲振動(dòng)方程：
A1與振動(dòng)幅值有關(guān)的系數(shù)W一彎曲振動(dòng)共振角頻率(rad／s)；竹一激振信號(hào)與振動(dòng)啊應(yīng)間相位差(rad)。
將(2)微分后代入(1)式得：
同理可表述為，式中各參數(shù)含義同前所述。
由式(6)分析得，當(dāng)梁的徑長(zhǎng)比較小，即為細(xì)長(zhǎng)梁時(shí)，修正系數(shù)日，趨近于1，無(wú)需修正；當(dāng)梁的徑長(zhǎng)比較大時(shí)，修正系數(shù)O<Ⅳ，<1，需要考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切變形對(duì)固有頻率的影響，應(yīng)
當(dāng)對(duì)不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切變形時(shí)的固有頻率進(jìn)行修正。
1 2不同解析公式的比較
(I)(II)(III)分別為已發(fā)表論文和本文用于自由．自由彎曲振動(dòng)梁共振頻率計(jì)算的解析公式。
上述三種解析公式形式相同，都可表示為不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切變形時(shí)的固有頻率∥與相應(yīng)修正系數(shù)H，的乘積。但文蒯[91k5文獻(xiàn)[10]在求解過(guò)程中，用到了細(xì)長(zhǎng)梁的假設(shè)條件，使得(I)、(II)式只能適用于一定徑長(zhǎng)比下的自由一自由彎振梁的同有頻率求解。具體為：將(III)在O處利用麥克勞林公式展開(kāi)，取展式前兩項(xiàng)可得(I)、(II)。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，要使展開(kāi)式保持高
的計(jì)算精度，應(yīng)滿(mǎn)足掣(1+—生)趨近于o，即掣(1+—生)。設(shè)粱9 45號(hào)鋼等截面實(shí)心圓.
關(guān)于三種解析公式的進(jìn)一步比較見(jiàn)表1與圖1。以45號(hào)鋼圓形截面梁為例，解析公式中相關(guān)參數(shù)取值情況見(jiàn)表l。
表1公式中參數(shù)取值情況
由表l參數(shù)及(I)、(II)、(III)式繪制一階彎振修正系數(shù)H1與徑長(zhǎng)比D／L的關(guān)系曲線(xiàn)，見(jiàn)圖1。由圖1可知，當(dāng)D／L d一0．3時(shí)，三種解析公式的修正系數(shù)值相差不大，進(jìn)一步體現(xiàn)為
固有頻率計(jì)算結(jié)果一致性較好，表明此時(shí)三種解析公式都可以用于自由一自由超聲定子彎髓振動(dòng)共振頻率的計(jì)算；當(dāng)D／L分別大于O 65 Ej 0．8時(shí)文獻(xiàn)[1。10l Jl與文刮t219]中的解析公式修正系數(shù)值為負(fù)，與實(shí)際不符。
圖2為45號(hào)鋼、實(shí)心圓截面梁的r、二、三階彎睦振動(dòng)F，本文解析公式中修正系數(shù)“z與徑長(zhǎng)比關(guān)系曲線(xiàn)。
由圖2可知．對(duì)于任意D／It，修正系數(shù)均為正值，表明本文推導(dǎo)的解析公式在理論上可以用于任意D幾值下的彎曲振動(dòng)梁的共振頻率的計(jì)算。對(duì)于相同振動(dòng)階次，隨徑長(zhǎng)比D／I。的增大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切變形對(duì)共振頻率的影響越顯著，表現(xiàn)為修正系數(shù)值越�。粚�(duì)于相同的徑長(zhǎng)比振動(dòng)階次越高，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切變形對(duì)共振頻率的影響越顯著，亦表現(xiàn)為修正系數(shù)值越小。
2有限元仿真
ANsYs作為目前通用的仿真軟件，普遍認(rèn)為其仿真結(jié)果是比較可靠的。為驗(yàn)證解析公式，首先通過(guò)ANsYs仿真進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)于彎曲旋轉(zhuǎn)超聲波電動(dòng)機(jī)，通常利用定子的一階彎曲振動(dòng)模
態(tài)實(shí)現(xiàn)電機(jī)驅(qū)圖3 a)，b)，c)分別是眭度為25mm、50rm、100mm，內(nèi)外徑比為0 5的圓形截面梁，采用解析公式及利用ANsYs仿真，所得一階彎曲振動(dòng)頻率與徑長(zhǎng)比D／L關(guān)系曲線(xiàn)，其中所用材料均為45號(hào)鋼。
圖3解析公式與ANsYs仿真結(jié)果對(duì)比
對(duì)于D／L>l的梁，在實(shí)際中其彎曲振動(dòng)模態(tài)較少利用，故只對(duì)徑長(zhǎng)比O率值二者吻合情況較理想。當(dāng)O 63實(shí)例驗(yàn)證
3 1已有樣機(jī)驗(yàn)證
表2為對(duì)部分已有彎曲旋轉(zhuǎn)超聲波電動(dòng)機(jī)樣機(jī)采用解析公式的驗(yàn)證情況。由表2可得，ANsYs仿真、解析公式計(jì)算及樣機(jī)實(shí)測(cè)三者所得共振頻率值吻合’隋況較好，說(shuō)明本文推導(dǎo)的解析公式兵有指導(dǎo)彎曲旋轉(zhuǎn)超聲波電動(dòng)機(jī)定子設(shè)計(jì)的實(shí)際意義。
3 2實(shí)驗(yàn)驗(yàn)汪
圖4為作者母瞞0出的一臺(tái)金屬管式超聲波電動(dòng)機(jī)定子”。定子外徑42mm，內(nèi)徑34mm，長(zhǎng)44mm，由金屬管與壓電陶瓷片粘貼而成，其中金屬管為鋁基體，壓電陶瓷為Pz4，定子徑長(zhǎng)比D／L=095。
考慮定子是由硬鋁與Pz4構(gòu)成的復(fù)合梁，通過(guò)計(jì)算兩種材料所占的體積比，建立定子的復(fù)合梁等效模型。利用解析公式計(jì)算其一階彎振頻率約為36 2kHz，ANsYs仿真結(jié)果為35 5kHz，實(shí)測(cè)工作頻率為30 0kHz。
圖4金屬管定子
前文的仿真結(jié)果均大于計(jì)算結(jié)果，而此處計(jì)算結(jié)果火于仿真結(jié)果。作者認(rèn)為產(chǎn)生誤差的原因，主要來(lái)源于建立金屬基體與壓電材料的復(fù)合梁模垂的建立方法以及精確程度。關(guān)于復(fù)合梁等效模型的精確建立這一問(wèn)題，正在進(jìn)一步研究中。需要說(shuō)明的是，若利用文獻(xiàn)[9]與文獻(xiàn)[10]中解析公式對(duì)該定子的共振頻率進(jìn)行計(jì)算，所得計(jì)算結(jié)果為負(fù)值。
4結(jié)論
彎曲旋轉(zhuǎn)超聲波電動(dòng)機(jī)定子，當(dāng)其外徑與長(zhǎng)度的比值增大時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切變形對(duì)彎曲振-動(dòng)共振頻率的影響將不能忽略。本文在對(duì)自由一自由鐵摩辛柯梁彎曲振動(dòng)理論分析的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量q剪切變形時(shí)、用于較大徑長(zhǎng)比范圍內(nèi)的共振頻率計(jì)算的解析公式。通過(guò)ANSYS仿真及實(shí)例驗(yàn)證，結(jié)果表明仿真、驗(yàn)證及解析計(jì)算j者所得一階彎曲振動(dòng)頻率值吻合情
況較好，證明了解析公式的正確性，為彎曲旋轉(zhuǎn)超聲波電動(dòng)機(jī)定子的設(shè)計(jì)與振動(dòng)特性研究提供了理論依據(jù)。
（1）
