時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)滯相關(guān)型穩(wěn)定性準(zhǔn)則
姜偕富，張忻欣
（杭州電子科技大學(xué)自動化學(xué)院，浙江杭州310018）
摘 要：針對常數(shù)時(shí)滯線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，基于一個適當(dāng)形式的lyapunov-krasovskii泛函，通過利用一個積分不等式，采用時(shí)滯分解方法，以線性矩陣不等式的形式給出了時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)型穩(wěn)定性準(zhǔn)則。與現(xiàn)有的時(shí)滯相關(guān)型穩(wěn)定性結(jié)果相比較，所得到的結(jié)果具有保守性更好，結(jié)構(gòu)更加簡單，且不含有任何多余的矩陣變量等特點(diǎn)，并從理論上進(jìn)行了嚴(yán)格的證明，解決了現(xiàn)有的穩(wěn)定性結(jié)果絕大多數(shù)只是從數(shù)值例子說明其有效性的問題。示倒說明了所得結(jié)果的有效性。
關(guān)鍵詞：時(shí)滯；線性矩陣不等式( lmi)；lyapunov-krasovskii泛函；穩(wěn)定性
中圖分類號：tp 27 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：a
1引言
學(xué)者們對如何得到具有更小保守性的穩(wěn)定性結(jié)果一直進(jìn)行著不懈的研究。為了得到具有較小保守性的時(shí)滯相關(guān)型穩(wěn)定性結(jié)果，近幾年提出了各種不同的方法和改進(jìn)技術(shù)[1-9]。文獻(xiàn)[1]對過去常用的不等式做了改進(jìn)，得到了一個新的不等式-park不等式，利用該不等式得到的時(shí)滯相關(guān)型穩(wěn)定性結(jié)果比已有的穩(wěn)定性結(jié)果保守性更小。文獻(xiàn)[3]在文獻(xiàn)[1]提出的park不等式的基礎(chǔ)上做了改進(jìn)，提出了moon不等式。文獻(xiàn)[4]提出了一種descriptor模型，并以線性矩陣不等式的形式給出了時(shí)滯相關(guān)型穩(wěn)定性結(jié)果。文獻(xiàn)[5]將文獻(xiàn)[4]中的descriptor模型與文獻(xiàn)[31中的moon不等式相結(jié)合，得到了一個更加有效的穩(wěn)定性結(jié)果。文獻(xiàn)[ 6-7]逶過引入自由矩陣變量，不需要對交叉項(xiàng)進(jìn)行放大處理，避免了由該技術(shù)產(chǎn)生的保守性。近一段時(shí)間，為了求得保守性小的穩(wěn)定性準(zhǔn)則，人們提出了一種對時(shí)滯參數(shù)進(jìn)行分解的方法[8_9]，然而文獻(xiàn)[8]中含有多余的矩陣變量，文獻(xiàn)[9]只是從給出的示例說明所得到的結(jié)論的有效性，如何尋找一個具有保守性小、結(jié)構(gòu)簡單、所含矩陣變量少的穩(wěn)定性準(zhǔn)則并從理論上嚴(yán)格證明其有效性將是本文研究的重點(diǎn)。
2主要結(jié)果
考慮如下時(shí)滯系統(tǒng)：
式中，x(t)er為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；φ(t)為初始條件；t>0為系統(tǒng)的常數(shù)時(shí)滯；a和b為具有適當(dāng)維數(shù)的已知實(shí)常數(shù)矩陣。
為了給出系統(tǒng)(1)的時(shí)滯相關(guān)型穩(wěn)定性準(zhǔn)則，首先介紹如下引理。
引理1對于任意的常數(shù)矩陣w∈rxn，w= wr >o，標(biāo)量γ>o，向量函數(shù)x：[ -y，0]一r使得下面所涉及的積分有定義，則：
命題1對于給定的常數(shù)時(shí)滯t，如果存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣p>o，
證明 類似于文獻(xiàn)[8]，取如下形式的lyapunov-krasovskii泛函：
沿著系統(tǒng)(1)的軌跡對y(z)求導(dǎo)，得到：
那么存在標(biāo)量a>o時(shí)系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的。對式(4)應(yīng)用schur補(bǔ)可以得到式(2)。證明完畢。
注1 最近，prof han基于類似的lyapunov-krasovsku泛函：
指出對于給定的時(shí)滯參數(shù)r >0，  如果存在適應(yīng)用引理l可得： 那么，有：
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