單調(diào)控制系統(tǒng)的簡化定理與多重穩(wěn)定性
朱廣慶，何希勤
（遼寧科技大學(xué)理學(xué)院，遼寧鞍山 114051）
摘 要：多重穩(wěn)定性是許多分子生物模型重要的動(dòng)力學(xué)行為，它在分析細(xì)胞分裂和生長現(xiàn)象中起到關(guān)鍵性的作用。為了了解細(xì)胞內(nèi)的復(fù)雜的調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)力學(xué)行為，將其數(shù)學(xué)模型進(jìn)行單調(diào)分解為若干個(gè)單調(diào)控制系統(tǒng)的互聯(lián)。對(duì)具有惟一定義的穩(wěn)定狀態(tài)響應(yīng)的單調(diào)控制系統(tǒng)，引入了具有保持局部穩(wěn)定性質(zhì)的簡化系統(tǒng)，根據(jù)簡化系統(tǒng)的平衡點(diǎn)與原來單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點(diǎn)之間存在的一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系，可推知單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的位置及其穩(wěn)定性，進(jìn)而通過確定單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的位置及平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，來確定整個(gè)互聯(lián)單調(diào)控制系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的位置及平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。由于簡化系統(tǒng)降低了原來生物系統(tǒng)模型的雛數(shù)，這為分析復(fù)雜生物系統(tǒng)的穩(wěn)定性提供了一種可行的途徑。
關(guān)鍵詞：多重穩(wěn)定性；單調(diào)控制系統(tǒng)；簡化系統(tǒng)；平衡點(diǎn)
中圖分類號(hào)：tp 27 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：a
l引言
在基因后組時(shí)代，生物學(xué)家和數(shù)學(xué)家面臨的****的挑戰(zhàn)就是通過對(duì)復(fù)雜的細(xì)胞內(nèi)的調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的研究來了解細(xì)胞的具體行為。在細(xì)胞內(nèi)，是由蛋白質(zhì)、dna，rna、代謝產(chǎn)物和其他物質(zhì)組成的調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)來處理外部的環(huán)境信號(hào)、控制內(nèi)部事件（如基因表達(dá)）以及產(chǎn)生適當(dāng)?shù)募?xì)胞響應(yīng)。尤其支持多重穩(wěn)定性和周期性行為的調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)近年來越來越受到人們的關(guān)注：多重穩(wěn)定性是許多分子生物模型重要的動(dòng)力學(xué)行為，在分析細(xì)胞分裂和生長現(xiàn)象中起到關(guān)鍵性的作用。多重穩(wěn)定性及相關(guān)的滯后和振蕩現(xiàn)象是分子系統(tǒng)生物研究的重點(diǎn)。
在應(yīng)用單調(diào)控制系統(tǒng)理淪時(shí)所面臨的****的困難就是決定穩(wěn)定狀態(tài)的位置和數(shù)量。文獻(xiàn)[3]把復(fù)雜的系統(tǒng)分解成由帶有單輸入單輸出的單調(diào)系統(tǒng)通過單位反饋連接成具有惟一定義的i/o特性和滿足單調(diào)性條件的閉環(huán)系統(tǒng)，然后根據(jù)簡化定理把單調(diào)分解后的閉環(huán)系統(tǒng)簡化為一維離散迭代方程。然而文獻(xiàn)[3]，考慮的i/o特性及i/s特性都是單值函數(shù)，本文通過把文獻(xiàn)[3]中的結(jié)論推廣到i/s及l(fā)／o特性是多值函數(shù)的情況，介紹能保持原單調(diào)系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性質(zhì)的簡化系統(tǒng)及通過分柝簡化系統(tǒng)的穩(wěn)定性來推斷原單調(diào)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
2預(yù)備知識(shí)
單調(diào)動(dòng)力系統(tǒng)通常是定義在有序巴拿赫空間上的，這里所討論的有序巴拿赫空間是一個(gè)實(shí)空間b，且具有一個(gè)奇異的非空閉子集。在這篇文章里，所討論的k是定義在歐式空間上的，且是一個(gè)非空閉凸集。它具有以下幾種性質(zhì)：
由上述正錐k的定義，引入序的概念。
定義1（偏序關(guān)系）若x1≥x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1-x2∈k則稱≥為定義在k上的偏序關(guān)系。
考慮具有輸入輸出的非線性控制系統(tǒng)：
式中，x∈x，u ∈u，y∈y，且x是rn上的一個(gè)開子集的閉包且賦予了由kx∈r所誘導(dǎo)的序；輸出集y和輸入集u也分別是其自己內(nèi)部的閉包且賦予了由錐ky∈r和ku∈rp所誘導(dǎo)的序。
在不引起混淆和從文中司以知其意的情況下，可以統(tǒng)一用k來代替kx，ky，ku。同時(shí)，假設(shè)：
f：x×u—y rn在xxu上是連續(xù)可微的且f在x上滿足局部利普希茨條件和在u 上是一致連續(xù)的，函數(shù)h：x一y在x上也是連續(xù)的。
下面給出單調(diào)控制系統(tǒng)的定義。
定義2（單調(diào)控制系統(tǒng)） 若系統(tǒng)(1)滿足下面給出的條件：
則稱系統(tǒng)(1)是單調(diào)控制泵統(tǒng)。
x(i，εi，ui)是微分方程x(t)=f(x(t)，u(t))且滿足初始條件x(0)=ε的解。由單調(diào)控制系統(tǒng)的定義，還可進(jìn)一步給出強(qiáng)單調(diào)控制系統(tǒng)的定義。
定義3（強(qiáng)單凋控制系統(tǒng)） 若系統(tǒng)(1)滿足下面給出的條件：
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